Henri Pioncaré
Matematiksel bilimler özellikle düzen, simetri ve kısıtlama gösterir; bunlar da güzelin en büyük biçimleridir.
Aristoteles
Giriş
Felsefelogos’un 2001/1 ve 2. sayılarında ele almaya çalıştığım matematiğin felsefesine bu kez de estetik bileşenini ekleyerek tartışmayı genişletmek istiyorum. Yukarıda yer verdiğim Pioncaré’nin sözleri biraz abartılı da olsa matematikte estetik bir bileşenden söz etmemiz için oldukça çok neden vardır. Bir matematikçi ve mühendis olarak Pioncaré, matematiği fiziksel bilimlere uygulayarak bire bir yaşamış ve doğayı anlama uğraşında onun kültürel boyutlarını görebilmiştir. Ne yazık ki, matematiği yalnızca bir araç olarak gören ve bugünün eğitim paradigmasına egemen olan pragmatik bakış açıları bu çok yönlü kültürel etkinliği hiçe sayagelmiş ve saymaktadır. Matematikçilerin çoğu ne matematiğin felsefesi ne de pedagojisi ile ilgilidirler. Özellikle pedagojik açıdan estetik bileşen çok önemlidir. Estetik düşünce gerek arı gerekse uygulamalı matematik alanlarına her zaman nüfuz etmiştir. Ancak bu konu ile ilgili tartışmalar genellikle dar gruplar içinde ya da kişisel merak alanında kalmıştır. Bilginin edinilmesi, kavram olarak geliştirilmesi ve kullanılabilmesinde estetik yönlerin etkili bir yeri vardır. Buna karşın estetik olgunun hiç de farkında olmadan okullar bitirilmekte, felsefe boyutlarından yalıtılmış matematik asık yüzü ile tanınarak kalmaktadır.Matematik insansal bir etkinlik olarak kültür yumağında ve onun tarihsel devinim süreçlerinde çeşitli renkler kazanmıştır. Buna karşın yalnızca yararlılık yönüyle ele alınarak felsefeden koparıldığı gibi, kültürel etmenlerinden de yalıtılmış durumdadır. Aşağıda, örnekler de kullanarak bu estetik bileşenin anlamını aydınlatmaya ve konuyla ilgili kişisel görüşlerimi belirtmeye çalışacağım.
Estetik Bileşen
Matematiğin estetik çekiciliği, birçok yazar ve düşünür tarafından gerek edilgin bir tasarım olarak gerekse gerçek bir araştırma uğraşında dile getirilmiştir. Kepler gibi klasik ve ortaçağ düşünürleri, “altın oran” olgusunu sınırsız bir çoşku ile ifade etmişlerdir. Pioncaré, matematikel yaratıcılıkta belirleyici etmenin mantık değil estetik olduğunu ileri sürmüştür.
Herşeyde olduğu gibi bir işi başarmanın ya da en azından o işe koyulmanın ilk koşullarından birisi o işi sevmektir. Bir şeyi sevmek ona ilgi duymak, bir beğeni duygusunu içermektir.
Matematik gibi soyut tasarımların içinde mantık, sezgi ve biçimi yakalamak, aynı zamanda bir esin kaynağını beraberinde yaşamayı getirir. G. H. Hardy’nin belirttiği gibi, “matematikçinin desenleri, bir ressamın ya da bir şairin desenleri gibi güzel olmalıdır . . .” Matematiği yaşayanlar; yani onu bir yöntembilime indirgemeyen, salt akademik bir ekmek kapısı olarak görmeyen, sıradan bir meslek ilişkisi içinde olmayan kişiler, kendi ruhsal yapılarına ve içinde büyüdükleri kültürel koşullara bağlı olarak daima matematiğin güzelliğinden söz etme gereksinmesi duymuşlardır.
Ünlü fizikçi P. A. M. Dirac, biraz da çoşarak, bir denklemde güzelliğin, o denklemin fiziksele uyumundan daha önemli olduğunu vurgulamıştı. Aslına bakarsak matematiksel dilin simgesel güzelliği yanında, o denklemin doğal bir olguyu betimlemeye çalışması da ayrı bir estetik yön içerir. Çünkü günlük yaşamın içinden gelen bir bağlantıdır bu.
Hava tahminlerinde kullanılan matematik modellerin içerdiği diferansiyel denklem dizgelerinin çözümü, başlangıç koşullarına o kadar bağlıdır ki, çözümlerin grafiksel görünümünde kaotik yapı hemen dışa yansır. Bir kelebeği andıran bu çözüm kümesine, başlangıç koşullarına olan derin duyarlılığı nedeniyle kelebek etkisi adı verilmiştir. Örneğin, küçük bir hava değişikliğinin – bir kelebeğin kanatlarını çırpması kadar – binlerce kilometre uzaklıktaki bir bölgede fırtına yaratacağı metaforu ünlüdür.
Matematikle uğraş içinde olmuş ünlü insanların sözleri bir önem taşısa da, matematiğin estetiğini bunlarla kanıtlama çabası içinde olunamaz. Bunların hem tarihsel bir değeri vardır, hem de ayrı ayrı dönemlerde, farklı alanlarda araştırma yapmış bu insanların birbirlerinden bağımsız olarak matematiğin estetik niteliklerinden söz etmiş olmaları dikkat çekicidir. Tarihin her döneminde göze çarpan estetik bileşeni araştırmak, tartışmak, yani matematiği yaşama davet etmektir amacımız. Ayrıca, estetik kaygı; döneme, matematiğin içinde yaşadığı kültüre, teknolojik gelişmelere çok bağımlıdır. Araştırma ve öğretimin her düzeyini estetikle ilişkilendirme fırsatlarının sonsuz olduğunu da söyleyebiliriz. Örneğin, bugün geometrinin, cebirin, matematiksel yazılımların ve görsel ortamların gelişmesi ve kazandığı güçle estetik bileşenle kurulan ilişkilerin artacağı ve biçim ve de yorum değiştireceği açıktır.
Burada önemle vurgulanması gereken bir nokta da “öğrenme ve öğrenmeyi öğrenme” olgusudur. Zihinsel etkinlikler olarak bilişsel süreçlerin bireysel öğrenme tarz ve profilinin içinde alacağı yol, o bireyin kalemi ve kağıdı ele alış biçiminden, bilgiyi kurma, kullanma ve paylaşma şekline kadar bir dizi duygusal aşama içerir.
Bunların psikanalitik irdelenmesi bir başka yazı konusu olmakla birlikte öğrenme sürecinin estetikle, yaşamla kurulan bağların renkleriyle olan ilişkisine parmak basmakta yarar vardır. Bu bakımdan, matematiğin estetik bileşenini iki açıdan ele alabiliriz. Birincisi matematiğin kendi yapısal özelliklerinin taşıdığı estetik nitelikler, diğeri bireyin matematikle kurduğu ilişkide ortaya çıkan duygusal bağlantılardır. Matematik, bir soyutlama sanatıdır. Varlıksal büyüklüklerin bir model içinde açıklanması için soyutun merdivenleri çıkılır onunla.
Yaşamın İçinde
Bunların yanında, genel olarak bakarsak matematiğin estetik bileşenine karşı körlük yaygındır. Genelde matematik, toz kadar kuru, bir telefon rehberi kadar heyecan verici ve ortaçağdan kalan miyadını doldurmuş yasalar kadar uzaklardadır. Aksine, estetik bileşene değer vermek, konunun harika bir şekilde yaşanmasına neden olur ve insan zihninin başka hiçbir yaratısının yapamayacağı gibi alevli bir çoşku verir. Sanat ve müzikte güzellik, en azından Platon zamanından bu yana araştırılmış bir olgudur. Bu olgu daha çok, düzen, oransallık, denge, uyum, birlik ve açıklık kavramları cinsinden inceleme konusu yapılmıştır. Tüm bunlar estetik bir çözümlemede rol oynamalarına rağmen, estetiği salt güzellikle açıklamak yetersizdir. Çünkü estetik yargılar, kişisel olma eğilimi taşır, kültürden kültüre ve kuşaktan kuşağa değişimler gösterir. Önemli olan, yalnızca neyin “güzel” olduğu değil, aynı zamanda estetik yargıların nasıl işlediğini ve ne gibi işlevlere sahip olduğudur. Bu noktada bir kez daha altını çizmek gerekir ki, bilgi denen olgu gerek pedagojik, okul ve okul sonrası süreçlerle ilgili, gerekse bilgikuramsal, felsefe / bilim / paradigmalar bağlamında, yaşamın çok yönlü etkileşim ve mücadelerinde bir anlam kazanır. Matematik özelinde de estetik yargılar vardır, önem taşır, geliştirilebilir, bir kuşaktan diğerine, öğretmenden öğrenciye, bir yazardan okura, bir okurdan diğerine aktarılabilir.
Peki, nedir bu matematik estetik, ya da ne olabilir? Birkaç özellik üzerinden gidelim. Matematikte, bir problem çözülür ya da bir çıkarsama yapılırken yaşanan süreç gerilimler ve gevşemelerle doludur. Gerilim ve gevşemeler bir ardışıklık içindedir. Sezgisel bir atılım, mantıksal bir engelle karşılaşabilir. Örneğin geometrik bir gösterimde, sezgisel yolla çizilen bir doğru parçası, problemin kuruluşu ile çelişebilir ve gerilim yaratır. Ardından çizilen bir başka doğru parçası, problemin çözümünü hemen aydınlatabilir ve haz dolu bir gevşeme yaşanır. Bir başka durum, hedeflenene varabilme duygusudur. Beklentiler gerçekleşmiştir. Gözlem ve deneyimlerle elde edilen bazı sonuçlara, matematik kanıtlar köprüsünden de geçilerek varılabilmiştir. O anda insanın yüzündeki gülümseme, estetik bileşenin dışa vurmuş biçimlerinden birini örnekler. Bir başka durum, matematiğin sürprizlerle dolu olmasıdır. Basit bir örnek dizilerde ve seri açılımlarında görülebilir. Dizi ve serilerin özellikleri araştırılırken, karşımıza bir diferansiyel denklemin çözümü çıkabilir. Ya da bu çözümün yaklaşık bir karşılığı önümüze dikilebilir. Sürprizler, matematik derslerinde öğrencilerin de karşılaştığı ilginç durumlardır. Yapılan bir tanımlamanın, tam da fiziksel bir probleme denk gelmesi, fiziksel bir çözümleme ile aynı sonuca varılması hoş bir şaşkınlık yaratır. Diğer bir olay, duyusal ve görsel hazdır. Matematik, bir bakımdan dilsel bir yapıdır. Gündelik dille ortak yönleri olan ancak kendine özgü bir dildir de. Duyusal ve görsel hazza iki açıdan yaklaşabiliriz. Birincisi görselin ağır bastığı durumdur. Bir metni çizime dönüştürmenin hazzı. Algılama ve kavrayışın belki de sınandığı bir adım. Dili, yazı ve çizim kurallarıyla kullanarak bir kavramı ya da kavramlar kümesini ele almış oluruz. İkincisi duyusal hazzın ağır bastığı durumdur. Burada, matematikte sayısız örneklerini gördüğümüz ve matematik anlamı belirleyen bir sentez söz konusudur. Matematik anlam nasıl yapılanır? Matematik ve dil ilişkisini kapsayan bu soru bir başka yazının konusu olsa da, burada estetik değerler açısından matematiğe şiirsellik kazandıran bir olgudan kısaca söz etmeliyiz. Düzanlam (denotative) ve dolaysalanlam (connotative). Örneğin, 1 + 4 ile 4 + 1 düzanlamsal olarak aynı şeyler değildir. İkisi de farklı metinlerdir. Ancak her iki metnin dolaysalanlamı, 5 değerine eşit olmalarıdır. Dikkat edilirse, öğrenime yeni başlayan çocuklar ve hepimiz çocukluğumuzda 3 + 7’nin 10 olduğunu öğrendikten sonra, 7 + 3’e sessiz kalmışızdır. Görseli ve duyusalı, zihnin bilişseli içinde barındıran bu yapılar, matematiğe tepkinin, kaygının ve aynı zamanda da isteğin ve hazzın psikolojik ve felsefi (bilgikuramsal) yönlerini ifade etmektedir. Bir diğer estetik nitelik matematiğin özgürlüğü ve kısıtlamaları aynı anda yaşatabilmesidir. Örneğin, onüçüncü yüzyılda yaşayan, Arap ve Hint kültürlerinin matematik bilgilerini derleyen, cebir ve sayı kuramına önemli katkılar yapan Piza’lı Fibonacci’nin geliştirdiği sayı dizileri, sayısal bilgisayarların gelişmesine kadar – 1950’ler – sümen altında kalmıştır. Daha sonra, gerek benzetim (simulation) gerekse olası en iyiyi hesaplamada (optimisation) yaygın bir kullanım kazanmıştır. Bir başka yön, bana göre en önemli estetik özellik, matematiğin “biricikliğidir” (uniqueness). Bilimin pozitivist örgütlenişi sürecinde araştırma dallarının birbirinden kesin çizgilerle ayrılmasından sonra matematik de bölük pörçük alanlara ayrılmıştır. Özellikle eğitim alanında kendisini açıkça duyuran bu parçalanmışlık matematiğin bir bütün olduğunun algılanmasını engellemiştir. Bu da matematiği sevimsiz kılmıştır. Akademik yaşantım süresince sayısız öğrencinin, matematiğin bütünlüğünü ve biricikliğini kavradığı zaman, matematiğe olan sevimsiz ve kaygı dolu duygularının nasıl değiştiğine tanıklık etmiş ve bire bir yaşamışımdır.
Estetik yargıların geçici olabileceğine ve özel bir matematiksel dönem ve kültüre konumlandırılabileceğini belirtmiştik. Tipik bir örnek, “altın oran” olarak bilinen sayıdır. Bir zamanlar en güzel dikdörtgen, uzun kenarının kısa kenarına oranı 1.61803…/1 = 1.61803 = ½(1+Ö5) olanı kabul edilirdi. Mimaride de çok kullanılan bu oran, aynı zamanda güzel insanın ölçüleri için de kabul edilmişti. İnsanın ayak ucundan göbeğine kadar olan uzaklıkla, göbeğinden başına kadar olan uzaklık oranı, eğer altın oran değerindeyse o insan atletik ve güzel kabul edilirdi. Yine bir başka örnek, bir kenarı birim uzunlukta olan düzgün beşgenle ilgilidir. Eğer köşeleri sıra ile numaralanırsa, örneğin, 1 ile 3. köşelerini birleştiren köşegenin uzunluğu altın orana denk gelen altın sayıdır (1.61803…). Bunun dışında kabuklu deniz hayvanlarının yapısında, çeşitli bitkilerin geometrik biçimlerinde aynı orana rastlamak olasıdır.
İlk bakışta şu sorulabilir; bu kadar farklı durumlar aynı altın orana denk geldiğine göre acaba bunların karşılıklı ilişkileri mi vardır? Bu hayret, keyf ve haz duymaya neden olur ve haz da, evrenin olağanüstü bir biçimde bir araya geldiği duygusuna yol açar. Fakat, farklı duygular da araştırma ve deneyimle ortaya çıkar. Eğer bir kişi, diferansiyel denklemler konusunu yoğunlukla çalışırsa, bu “beklenmeyen” artık beklenmeyen olmaktan çıkmaya başlar ve sağlam bir çalışma sezgisine dönüşür. Buna bağlı olarak “beklenmeyenin” oluşturduğu estetik haz, bir olasılıkla azalabilir ya da kesin bir dönüşüme uğrar. Denebilir ki, bu gibi sürprizler ya da şaşkınlık durumları, rahatsız edici bir gizemliliğe yol açar. Bu duygulanım da, bundan kurtulmak için tüm bu özel durumları kapsayacak genel bir kuramı geliştirmede itici güç olabilir. Böylece, yukarıda verilen ve altın oranla sonuçlanan özel durumları içine alan bir kuram geliştirilir. Bu, belirli matrislere ait özdeğerlerin kuramıdır. Bu yolla, sürprizi ya da şaşkınlığı açıklamak ve belki de onu söndürmek için gösterilen çaba, yeni bir araştırma ve anlama gayretine dönüşmüş olmaktadır.
Son Bir Söz
Estetik bileşene ait örneklerini çoğaltmak olası. Bir okyanus kadar engin. Ancak, felsefi bağlamda ele almaya çalıştığım bu konuyu teknik ayrıntılarla baymak istemedim. Üstelik, matematiğin matematikçilerin işi olduğu önyargısının çok yaygın olduğu bir paradigma çatısı altında. Ancak bu paradigma, kendi içinde seçeneklerini de yaratmaktadır.Meslek alanı ne olursa olsun, bilgiyi sorgulamak ve bilim felsefesine ilgi duymak her geçen gün artan bir eğilim.
Bilgiyi, yaşamın örgüsünden elde etmeye çalışma çabası artış göstermektedir.
Kendi mesleki alanı içine sıkışmak istemeyen duygular bu paylaşıma estetik boyutlar katmaya daima devam edecektir.
Özellikle, ezber yaşamın üstüne yapılanmış ezbere dayalı eğitim dizgelerinde çürümüşlüğü tamir etmek için gösterilen gayretler yöntemsel indirgemecilikten arındırılmak zorundadır. Bunun en etkili yollarından birisi, bilimi felsefi, yani yaşamsal değerleriyle ele almaya çalışmaktır. Bilginin tarihsel gelişimi ve felsefi boyutlarından yalıtarak sunulan şey bir şablon olmaktan kurtulamaz. Böylece şablon, pragmatik sonuçlar adına ezberlenir. Matematiğin de bir estetik bileşeni olduğunu aklının ucundan bile geçirmeyen sayısız insan vardır. Özellikle de matematikçiler ve mühendisler ve de ekonomistler.
Bir matrisin, iki boyutlu düzenli bir küme olmasının dışında, bir petrokimya tesisinin kütlesel dağılımını bulmak için çözülen yüzlerce denklemin çözüm yuvası olduğunu bilmek, bilgsayar grafiklerinin, ekranda oynadığımız oyunların sahne arkasında milyonlarca matris hesaplamasının yapıldığının farkında olmak ne güzel değil mi?
Evet güzel, çünkü öğrenmeyi öğrenmenin tadına varmak, neyi ne için yaptığımızı bilmek önemli bir estetik kaygıyı da beraberinde taşır. Bu tartışmaya, yeni felsefi tatlar katılması dileğiyle…
Kaynakça
- Thomas Tymoczko, “New Directions in the Philosophy of Mathematics”, Princeton, 1998.
- I. Grattan-Guinness, “The Search for Mathematical Roots”, Princeton, 2000.
- Reuben Hersh, “Fresh Breezes in the Philosophy of Mathematics”, American Mathematical Monthly, August-Sept., 589, 1995.
- Jonatan M. Borwein, “Aesthetics for the Working Mathematician”, Mathematics and Aesthics, Queens University Symposium, April-2001
